式と単位
a = λs / 3600; ρ = a / c < 1
B₀ = 1; Bⱼ = aBⱼ₋₁ / (j + aBⱼ₋₁), j = 1, …, c
C = cB꜀ / (c − a + aB꜀)
Wq = Cs / (c − a) seconds; Lq = λWq / 3600 people
P(W > t) = C exp(−(c − a)t/s), t ≥ 0 seconds
W90 = 0 if C ≤ 0.1; otherwise s ln(C/0.1) / (c − a) seconds
λは1時間あたりの到着人数、sは1人の平均対応時間（秒）、cは正の整数の窓口数です。aは負荷（erlang）、ρは稼働率、Cは確率で、ρとCは無次元です。Bⱼは階乗の桁あふれを避けてCを計算するErlang Bの再帰式です。Wqは対応開始までの平均待ち時間（秒）、Lqは待つ平均人数、W90は待ち時間の90パーセンタイル（秒）。Wは待たない人の0秒も含む個人の待ち時間です。
数値例
λ = 120人/時、s = 60秒、c = 3窓口なら、a = 2、ρ = 2/3 = 66.67%です。B₁ = 2/3、B₂ = 2/5、B₃ = 4/19から、C = 4/9 = 44.44%。Wq = (4/9) × 60 / (3 − 2) = 26.67秒、Lq = 120 × (80/3) / 3600 = 0.89人です。W90 = 60 ln((4/9)/0.1) = 89.50秒。平均待ち30秒未満には3窓口が必要で、2窓口では定常状態になりません。
前提と限界
- 到着率と窓口数は一定で、対応時間は独立、全窓口の平均速度は同じです。共通の列は1本で待つ場所に上限がなく、途中離脱もなく、定常状態になるまで運営する前提です。ρ ≥ 1では有限の定常平均待ち時間がありません。
- 待たずに対応を受ける人も平均に含みます。Lqは対応中の人を含めず、物理的な列の長さ（m）でもありません。90%以上がすぐ対応を受ければW90は0です。平均待ち時間の目標は最長待ち時間を保証しません。
- 上映終了、学校のベル、別々の列、図面上の移動、休憩、限られた営業時間には、別の仮定やシミュレーションが必要です。ツールは1〜1,000窓口から、平均待ちが目標未満になる最小の整数を探します。